泰勒级数（Taylor series）是一种将函数表示为无穷级数的技巧，适用于复变函数（即定义在复数域上的函数）。在复分析中，如果一个复变函数在某个点 ( a ) 处解析（即可导），那么它可以在 ( a ) 的某个邻域内展开为泰勒级数。泰勒级数的形式与实数域类似，但在复平面中，收敛性由函数的奇点决定（收敛半径由最近奇点距离给出）。

一般公式

设 ( f(z) ) 一个定义在开集 ( D subseteq mathbbC} ) 上的复变函数，且在点 ( a in D ) 解析。则 ( f(z) ) 在 ( z = a ) 处的泰勒级数展开为：

[

f(z) = sum_n=0}^infty} fracf^(n)}(a)}n!} (z

a)^n

]

其中：

( f^(n)}(a) ) 是函数 ( f ) 在点 ( a ) 处的 ( n ) 阶导数（复导数），

( n! ) 是阶乘（( n ) 的阶乘），

( (z

a) ) 是变量 ( z ) 与展开点 ( a ) 的差值。

该级数在某个圆盘 ( |z

a| < R ) 内收敛，其中 ( R ) 是收敛半径（可能为 ( infty )）。收敛半径 ( R ) 可以通过下面内容公式计算：

[

R = frac1}limsup_n

o infty} left| fracf^(n)}(a)}n!} right|^1/n}}

]

或者，如果函数在复平面中有奇点（如极点或本性奇点），则 ( R ) 是 ( a ) 到最近奇点的距离。

关键点

解析性要求：函数必须在 ( a ) 处解析（即导数存在且满足柯西-黎曼方程），否则泰勒级数可能不存在或不收敛到函数值。

唯一性：如果函数在 ( a ) 处解析，则泰勒级数是唯一的。

收敛性：在复平面中，泰勒级数的收敛域通常一个圆盘（而在实数域中可能一个区间），收敛边界由函数的奇点决定。

常见复变函数的泰勒级数例子

下面内容是一些基本初等函数在 ( a = 0 ) 处的泰勒级数展开（Maclaurin 级数）。这些级数在整个复平面 ( mathbbC} ) 上收敛，除非特别注明。

1. 指数函数：

[

e^z = sum_n=0}^infty} fracz^n}n!} = 1 + z + fracz^2}2!} + fracz^3}3!} + cdots

]

收敛半径： ( R = infty )（处处收敛）。

2. 正弦函数：

[

sin z = sum_n=0}^infty} (-1)^n fracz^2n+1}}(2n+1)!} = z

fracz^3}3!} + fracz^5}5!}

cdots

]

收敛半径： ( R = infty ).

3. 余弦函数：

[

cos z = sum_n=0}^infty} (-1)^n fracz^2n}}(2n)!} = 1

fracz^2}2!} + fracz^4}4!}

cdots

]

收敛半径： ( R = infty ).

4. 天然对数（主支）：

[

ln(1 + z) = sum_n=1}^infty} (-1)^n+1} fracz^n}n} = z

fracz^2}2} + fracz^3}3}

cdots

]

收敛半径： ( R = 1 )（仅在 ( |z| < 1 ) 内收敛，且在 ( z = -1 ) 有奇点）。

5. 几何级数：

[

frac1}1

z} = sum_n=0}^infty} z^n = 1 + z + z^2 + z^3 + cdots

]

收敛半径： ( R = 1 )（仅在 ( |z| < 1 ) 内收敛）。

示例计算

例子：求函数 ( f(z) = e^z ) 在 ( a = 0 ) 处的泰勒级数。

导数： ( f^(n)}(z) = e^z )，因此 ( f^(n)}(0) = 1 )。

代入公式：

[

e^z = sum_n=0}^infty} frac1}n!} z^n = 1 + z + fracz^2}2!} + fracz^3}3!} + cdots

]

例子：函数 ( f(z) = frac1}1 + z^2} ) 在 ( a = 0 ) 处的收敛半径。

奇点：当 ( 1 + z^2 = 0 ) 时，( z = pm i )，因此最近奇点距离为 ( |i

0| = 1 )。

收敛半径： ( R = 1 )（级数在 ( |z| < 1 ) 内收敛）。

注意事项

复变 vs 实变：泰勒级数形式在实数和复数中相似，但复变函数的收敛性更强（例如，实函数 ( frac1}1+x^2} ) 在实数轴处处可导，但复变版本只在 ( |z| < 1 ) 内收敛）。

应用：泰勒级数在复分析中用于解析延拓、留数计算和求解微分方程。

其他级数：如果函数在 ( a ) 处不解析，可能需要洛朗级数（Laurent series）展开（包含负幂项）。

如果无论兄弟们有特定函数或点需要展开，或想了解更多细节，请提供更多信息！